Процессы с рождением топ-кварка.

В Стандартной Модели одиночный t-кварк с почти 100% вероятностью рождается через $Wtb$ вершину. На адронных коллайдерах возможны три основных процесса рождения топ-кварка; основные фейнмановские диаграммы показаны на рисунках 1.1 и 1.2. Наборы диаграмм не отличаются для $p\bar p$ (Tevatron) и $pp$ (LHC) взаимодействий; отличия проявляются на уровне партонных структурных функций и разницы в энергии столкновений. На рисунке (1.1 a) показана диаграмма для наиболее простого s-канального процесса. На рисунке (1.1 b) показаны основные диаграммы для t-канального процесса - в литературе часто упоминается как $Wg$-слияние; вторая диаграмма для этого процесса дает небольшой вклад в полное сечение - примерно 5% на Tevatron, но отрицательная интерференция между первой и второй диаграммами составляет 30%. Aссоциативноe $tW$ рождениe имеет существенно отличную от предыдущих процессов конечную сигнатуру, похожую на сигнатуру парного $t\bar t$ рождения. Сечение этого процесса составляет всего несколько процентов от полного сечения на коллайдере Tevatron и он требует отдельного рассмотрения для LHC коллайдера. Основные фейнмановские диаграммы для последнего процесса приведены на рисунке 1.2, все оценки для него берутся из статьи [32].

Figure 1.1: Основные древесные диаграммы с рождением t-кварка в (a) s-канальном, и (b) t-канальном процессе.

Figure 1.2: Основные древесные диаграммы с рождением t-кварка в ассоциации с $W$ бозоном.

При вычислении полного набора диаграмм, дающих вклад в t-канальный процесс, возникает проблема двойного учета члена с функцией расщепления глюона, компоненты которой содержатся, как и в структурных функциях, так и в диаграмме $qb\rightarrow q^\prime t$ (рисунок (1.3 a). С целью корректного учета всех диаграмм была реализована схема вычислений, схематично показанная на рисунке (1.3); из процесса (1.3 a) на уровне структурных функций вычитается первый член функции расщепления глюона (1.3 b) и добавляется точно вычисленная на древесном уровне диаграмма с глюоном в начальном состоянии (1.3 c).

Figure 1.3: (a) процесс в лидирующем порядке с начальным морским $b$-кварком; (b) вычитаемая часть с первым членом функции расщепления глюона; (c) процесс в лидирующем порядке с начальным глюоном.

Такая схема была реализована при создании первой версии Монте-Карло (МК) генератора SingleTop для моделирования t-канального процесса для Tevatron (Run I). В более поздних вычислениях и в вычислениях для коллайдера LHC (вторая версия генератора SingleTop) было реализовано разделение вкладов от разных диаграмм с помощью разделяющего обрезания на $P_T^b$, идущего от расщепления глюона.

Для моделирования событий с рождением t-кварка на коллайдере Teavatron был создан Монте-Карло генератор (SingleTop I), содержащий полный набор сигнальных диаграмм на древесном уровне. Генератор использует созданные пакетом CompHEP3.0 [33] коды квадратов матричных элементов и он продолжен интерфейсом в пакет PYTHIA5.7/JETSET7.4 [34] методом внешнего пользовательского процесса. Для интегрирования по фазовому пространству, введению регуляризаций и генерации событий использовался CompHEP и пакет интегрирования BASES/SPRING [36]. Эффекты адронизации, излучения из начальных и конечных линий и моделирование адронных остатков были созданы пакетом JETSET7.4. Использовалась струнная модель фрагментации кварков. Вычисления проводились со структурными функциями CTEQ3m при масштабе КХД $Q^2=M_t^2$ для s-канального процесса и $Q^2=(M_t/2)^2$ для t-канального процесса. Такой выбор $Q^2$ обусловлен сопоставлением сечения в лидирующем порядке (LO) и вычисленными в работах [37], [38] сечениях в следующем порядке теории возмущений (NLO). Конечные результаты вычислялись с использованием перенормирования полученного LO сечения на NLO сечение, которое было получено для s-канального процесса в работе [37] и t-канального процесса в работе [38]. Результаты этих вычислений при $M_t=175 \ ГэВ$ дают:

$$\hspace{0.1 in} s-канальный \hspace{0.1 in}\sigma_{\rm {NLO}} ({\mbox{$p\bar{p}$}}(p)\to t\bar b X+\rm {c.c.})=$$

$$\hspace{0.3 in} = 0.78 \pm\rm0.09~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =1.8 ТэВ, TEVATRON)$$ (1.1)

$$\hspace{0.3 in} = 0.88 \pm\rm0.05~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =2 ТэВ, TEVATRON)$$ (1.2)

$$\hspace{0.3 in} = 10.2 \pm\rm0.6~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =14 ТэВ, LHC);$$ (1.3)

$$\hspace{0.1 in} t-канальный \hspace{0.1 in}\sigma_{\rm {NLO}} ({\mbox{$p\bar{p}$}}(p)\to tq\bar b X+\rm {c.c.})=$$

$$\hspace{0.3 in} = 1.79 \pm\rm0.34~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =1.8 ТэВ, TEVATRON)$$ (1.4)

$$\hspace{0.3 in} = 2.44 \pm\rm0.46~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =2 ТэВ, TEVATRON)$$ (1.5)

$$\hspace{0.3 in} = 245 \pm\rm 27~pb \hspace{0.1 in} (\rm\sqrt s =14 ТэВ, LHC)$$ (1.6)

Ошибки включают неопределенность в выборе структурных функций, выборе $Q^2$ от $(Q_{М_W}/2)^2$ до $(2Q_{М_W})^2$ и неопределенность в массе t-кварка $M_t$. Детальное сравнение распределений и кинематический анализ будет представлен ниже.

В настоящее время развиваются несколько МК генераторов для моделирования процессов с рождением одиночного топ-кварка, такие как [39,40] ONETOP, TopRex, генераторы основанные на пакетах MADGRAPH, PYTHIA и CompHEP (первая версия последнего, описана выше). К сожалению ни один из перечисленных генераторов не решает все возникающие проблемы, к которым относятся следующие:

• Прямое включение процедуры вычитания для t-канального процесса на уровне генератора приводит к возникновению событий с отрицательными весами. В описанной выше процедуре эта проблема решается включением схемы вычитания на уровне структурных функций и использованием их модификации при вычислениях. Однако, это не решает проблему с моделированием излучения из начальных линий методом, реализованным, например, в пакете PYTHIA. Как будет показано ниже, излучение из начальных кварковых линий - важный источник дополнительных струй и это требует более правильного моделирования.
• Одни и теже диаграммы в зависимости от кинематической области дают вклад в различные механизмы рождения одиночного топ-кварка. Например, процесс $pp \to t b g +X$ является частью NLO поправок к s-канальному процессу, если дополнительный глюон является мягким и не может быть выделен, как отдельная адронная струя. Однако, если глюон жесткий и появляется дополнительная струя, то такой вклад необходимо добавить в t-канальный механизм рождения. Соответственно, необходимо правильно учесть все вклады и правильно объединить LO и NLO вычисления.
• В электрослабых процессах топ-кварк рождается высоко поляризованным, как результат $(V-A)$ структуры $Wtb$ вершины в СМ. Этот факт приводит к спиновым корреляциям между рождением топ-кварка и его распадом, что должно быть правильно включено в генератор.
• В $pp$ столкновениях рождение $t$ и $\bar t$ имеют существенно разные сечения. Соответствующие асимметрии в распределениях могут быть полезны для уменьшения систематической ошибки и при введении дополнительных наблюдаемых. Следовательно вклады $t$ и $\bar t$ должны быть смоделированы независимо.
• Как будет показано в следующей главе, процессы с рождением одиночного топ-кварка черезвычайно чувствительны к аномалиям в структуре $Wtb$ вершины. Поэтому при моделировании таких отклонений аномальные операторы должны быть включены в генератор.

Как следующий шаг к решению перечисленных выше проблем, была предложена новая схема моделирования электрослабого рождения топ-кварка (генератор - SingleTop II) в применении к коллайдеру LHC и Tevatron (Run II). Cпособ вычисления вполне общий и он применим и к другим процессам. Как и в первой версии генератора, созданного для коллайдера TEVATRON, все матричные элементы для полного набора древесных фейнмановских диаграмм были вычислены пакетом CompHEP. Все распады были включены в матричные элементы и таким образом была правильно смоделирована спиновая структура для конечных состояний. Созданные на партонном уровне события передавались через стандартный интерфейс [41] в пакет PYTHIA6.1 для дальнейшего моделирования адронизации кварков, излучения из конечных и начальных линий и моделирования адронных остатков. В таблицах 1.7, 1.8, 1.9, 1.10 приведены подпроцессы, включенные в каждый процесс. Суммирование проводилось на уровне структурных функций, объединялись подпроцессы, имеющие одинаковую структуру матричного элемента и отличающиеся начальными или конечными состояниями. С целью корректной фрагментации конечных кварков их ароматы были сохранены, поскольку имеется существенное отличие в адронизации, например $c$ и $u$ кварков; $u$ и $d$ кварки, были объединены в один подпроцесс в связи с малыми различиями в моделировании адронизации. В таблицах приведены парциальные и полные сечения для достаточно жесткой кинематической области с начальными обрезаниями: $P_T^b\stackrel{ >}{\sim}$ 10 ГэВ, $P_T^q\stackrel{ >}{\sim}$ 20 ГэВ ($2\to 3$ процесс), и дистанцией в $\varphi, \eta$ параметрическом пространстве $\Delta R(j,j\prime )=\sqrt{\Delta \varphi^2+ \Delta\eta^2}>0.5$. В дальнейшем будет объяснен выбор таких обрезаний.

$$pp \to t\bar b+ + X \hspace{2cm} 73.8 pb \hspace{2cm}$$ (1.7)

$$\begin{array}{lccr} &\ \ \ \ Subprocesses: & & \\ ug \to dt\... ...\ pb &\ 6.6\ pb &\ 5.4\ pb &\ 2.2\ pb \nonumber \\ \end{array}$$

$$pp \to \bar tb+ + X \hspace{2cm} 46.2 pb \hspace{2cm}$$ (1.8)

$$\begin{array}{lccr} &\ \ \ \ Subprocesses: & & \\ \bar u g \... ...\ pb &\ 4.4\ pb &\ 6.2\ pb &\ 1.3\ pb \nonumber \\ \end{array}$$

$$pp \to t\bar b + X \hspace{2cm} 4.9 pb \hspace{2cm}$$ (1.9)

$$\begin{array}{lccr} &\ \ \ \ Subprocesses: & & \\ \bar d u \... ... s c \to t\bar b\ &\ c\bar s \to t\bar b\ \nonumber \end{array}$$

$$pp \to \bar tb + X \hspace{2cm} 3.1 pb \hspace{2cm}$$ (1.10)

$$\begin{array}{lccr} &\ \ \ \ Subprocesses: & & \\ d\bar u \t... ...bar c \to \bar t b\ &\bar c s \to \bar t b\nonumber \end{array}$$

Необходимо отметить, что при энергии коллайдера LHC большой вклад дают процессы с морскими кварками в начальном состоянии. Например, для процесса 1.7 они составляют около 20% от суммарного сечения.

Figure 1.4: Сравнение распределений по $P_T$ и псевдорапидити $y$, смоделированных генератором SingleTop и PYTHIAдля процесса (1.7, 1.8), без применения кинематических обрезаний. Распределения нормализованы на единицу.

Figure 1.5: Сравнение распределений из CompHEP и PYTHIA для процессов (1.7, 1.8) с применением обрезаний $P_T^b \ge 20$ ГэВ и $P_T^q \ge 20$ ГэВ.

Figure 1.6: Результат комбинирования событий из CompHEP и PYTHIA с начальным обрезанием $P_T^q \ge 20$ ГэВ и обрезанием, разделяющим фазовое пространство, $cut(P_T^b)=20$ ГэВ.

Figure 1.7: Результат комбинирования событий из CompHEP и PYTHIA с начальным обрезанием $P_T^q \ge 20$ ГэВ и обрезанием, разделяющим фазовое пространство, $cut(P_T^b)=10$ ГэВ.

Однако пока не была рассмотрена кинематическая область с мягким $b$ кварком в конечном состоянии для процесса $2\to 3$ (диаграммы 1.1b), которая может быть интересна в некоторых исследованиях. Вычисления описанные выше, базируются на точных вычислениях полного набора древесных диаграмм для реакций с рождением $t$ кварка в ассоциации с $b$ и легким кварком.

Существyют другие пути для моделирования такого же конечного состояния. Один из наиболее известных способов (например, использованный в работе [42]), использовать пакет PYTHIA для части $2\to 2$ t-канального процесса с $b$ кварком в начальном состоянии при одновременном моделировании излучений из начальных и конечных линий, и выбирать события с дополнительным $b$ кварком в конечном состоянии, происходящим от расщепления глюона, излученного из начальной или конечной линии. Строго говоря, как первый, так и второй способ вычислений не полностью корректны во всей области фазового пространства. Полные $2\to 3$ древесные вычисления не включают важную часть КХД коррекций, входящих в вершину расщепления глюона в $b\bar b$ пару и дающих основной вклад в кинематическую область с мягким конечным $b$. Во втором способе с $b$ кварком в начальном состоянии учитывается большая часть поправок, но такой способ работает, только в кинематической области с мягким $b$-кварком в конечном состоянии. Ниже описывается способ объединения этих двух методов, при котором, будет более правильно моделироваться и мягкая и жесткая кинематические области.

Разделить мягкую и жесткую кинематическую области для конечного $b$ кварка можно сравнив полные сечения и распределения, смоделированные описанным выше генератором SingleTop и пакетом PYTHIA с приближением, использующим функции расщепления глюона для моделирования конечного $b$. В последнем случае используется PYTHIA для процесса $pp \to tq + X$ (ключ MSUB = 83) с одновременным моделированием излучения из начальной и конечной линий. Далее выбираются события с топ-кварком, легким кварком и дополнительным $b$ кварком, идущим от расщепления начального (или излученного) глюона.

Все модельные параметры, структурные функции и КХД масштаб были выбраны одинаковыми в обоих способах моделирования. Сравнение проводилось на партонном уровне для конечных частиц. Полное сечение, вычисленное без каких то начальных обрезаний, равно 235 pb в PYTHIA и 224 pb в генераторе SingleTop. Согласование сечений на уровне 5%.

На рисунке 1.4 приводятся распределения по $P_T$ и $y$ конечных частиц, смоделированных генератором SingleTop и пакетом PYTHIA. Видно, что распределения для $t$ и легкого кварков совпадают; в распределениях для дополнительного $b$ кварка имеются существенные отличия. Как можно было ожидать, $P_T$, спектр полученный в приближении функции расщепления глюона в PYTHIA, существенно мягче и при этом дополнительные $b$ разлетаются под более малыми углами, в отличии от точных вычислений древесного матричного элемента, где $b$ кварк оказывается центральным.

Возникает вопрос, какое распределение более корректное? Ответ - каждое не совсем корректно во всей области фазового пространства. Точные вычисления на древесном уровне описывают жесткую кинематическую область. При применении обрезания $P_T^b>20$ ГэВ вычисленное полное сечение (116 pb) в несколько раз выше, чем сечение полученное в PYTHIA (25.4 pb). Соответствующие распределения показаны на рисунке 1.5, из которых ясно видно, что приближение функции расщепления в PYTHIA дает существенно меньший вклад в жесткой области и, как можно было ожидать, не описывает полные вычисления. С другой стороны, древесные вычисления не учитывают существенные КХД коррекции для мягкого $b$ кварка, которые можно учесть включением процесса с $b$ в начальном состоянии, что сделано в PYTHIA. Следовательно, что бы корректно воспроизвести кинематические свойства во всем фазовом пространстве и не допустить двойного счета, надо правильно объединить оба способа вычислений.

Основной вклад NLO поправок приходится на ``мягкую'' кинематическую область. Как было указано выше, полные NLO вычисления для $t$-канального процесса дают полное сечение равное 245 pb. Для включения известных NLO результатов была использована следующая нормализация для ``мягкой'' области:

$$\sigma_{_{2\to 2}}($$ PYTHIA$$) = \sigma($$ NLO$$) - \sigma_{_{2\to 3}}($$ CompHEP$$)\vert _{_{P_T^b>cut(P_T^b)}},$$

где $\sigma_{_{2\to 3}}($ CompHEP$)\vert _{_{P_T^b>20 {\rm ГэВ},P_T^q>20 {\rm ГэВ}}}\approx 88.7\;{\rm pb}$
и $\sigma_{_{2\to 3}}($ CompHEP$)\vert _{_{P_T^b>10 {\rm ГэВ}, P_T^q>20 {\rm ГэВ}}} \approx 124\;{\rm pb}.$

В результате, берутся события для ``жесткой'' кинематической области с $P_T^b>cut(P_T^b)$, приготовленные генератором SingleTop, и события, приготовленные для ``мягкой'' области в PYTHIA с $P_T^b<cut(P_T^b)$. Остается найти такое значение $cut(P_T^b)$, что бы комбинированные $P_T^b$ распределения были гладкими. На рисунке 1.6 показаны распределения для значения $cut(P_T^b)=20$ ГэВ. Можно видеть большой уступ в распределении по $P_T^b$. После несложного анализа было найдено, что значение $cut(P_T^b)=10$ ГэВ удовлетворяет нужным требованиям. Соответствующие распределения показаны на рисунке 1.7. Комбинированное распределение по $P_T^b$ достаточно гладкое и, следовательно, корректное объединение ``мягкой'' и ``жесткой'' области найдено.

Figure 1.8: Эффект правильного учета спиновых корреляций в рождении $t$ и его распаде для t-канального процесса и сравнение с аналогичным распределением для КХД $Wb\bar{b}j$ фона.

С целью правильного учета всех спиновых корреляций рождения топ-кварка и его распада в генератор SingleTop были включены полные матричные элементы, включающие все распады. Соответственно для процесса $2\to 3$ матричный элемент включает в себя следующий процесс:

$$p,p\to t,q,b\to W,b,q,b\to l,\nu_l , b,q,b ,$$

здесь учитывается, что топ-кварк с почти 100% вероятностью распадается на $W,b$ и для последующей возможности выделения таких событий из фоновых процессов выбирается лептонный распад $W$. На рисунке 1.8 показаны распределения по косинусу угла между вылетом конечного лептона и легкого кварка в системе покоя $t$. Показаны распределения для матричного элемента $2\to 5$ (правильное распределение), матричного элемента $2\to 4$ (с распадом $t\to Wb$ и далее $W$ распадается средствами PYTHIA, при этом производится суммирование по спиновым состояниям $W$), и простейший матричный элемент $2\to 3$, обычно используемый при моделировании. Из верхнего рисунка очевидна необходимость правильного учета всех спиновых состояний. Для сравнения возможностей использования такой спиновой информации на нижнем рисунке приведена кривая для КХД фона в процессе $p,p\to W,b,\bar b, j$ ( $j=u,d,c,s,g$). В этом сравнении, система покоя и наблюдаемая переменная выбраны не случайно. В работе [43] было показано, что при таком выборе базиса спиновые эффекты в этом процессе проявляются максимально и описываются формулой [44]

$$\frac{{\rm d}N}{{\rm d}\cos\theta} \sim \left( 1+ \cos\theta\right)/2$$ (1.11)

С помощью описанного генератора SingleTop была создана база данных событий, связанных с рождением одиночного топ-кварка; для коллаборации CMS (LHC) проводится моделирование отклика детектора и планируется использование смоделированных событий в физическом анализе данных.