Ограничения на сечения сигнальных процессов

Для определения ограничений на сечения сигнальных процессов был использован метод, основанный на теореме Бейеса. Все приводимые ниже ограничения были получены на уровне достоверности 95% . В начале используется следующее выражение для оценки числа событий:

$$Y^{\rm sigdat}_{\rm predict} = A^{\rm sigMC} \; {\cal L} \; \sigm... ... + Y^{\rm backMC} + Y^{\rm backdat} = A^{\prime} \; \sigma_{\rm sig} + B1 + B2$$

где

• $Y^{\rm sigdat}_{\rm predict}$ предсказанное число событий в данных от фона и сигнала;
• $A^{\rm sigMC}$ акцептанс сигнальных событий, оцененный из МК;
• ${\cal L}$ интегральная светимость образца данных;
• $\sigma_{\rm sig}$ сечение сигнальных процессов, полученное в СМ;
• $Y^{\rm backMC} = B1$ число фоновых событий для процессов, оцениваемых из МК;
• $Y^{\rm backdat} = B2$ число фоновых событий для процессов, измеряемых из данных;
• $A^{\prime} = A^{\rm sigMC} \times {\cal L}$.

Пуассоновская вероятность получения наблюдаемого числа событий в данных $Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}$:

$$P\left(Y^{\rm sigdat}_{\rm obs} \vert \sigma, a^{\prime}, b1, b2 ... ...{\rm predict} \right)^{Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}}} {Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}!},$$

где

• $Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}$ наблюдаемое число событий в данных;
• $\sigma$ значение сечения сигнальных процессов, дающих значение $Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}$;
• $a^{\prime}$ реальное значение аксептанса, умноженное на интегральную светимость;
• $b1$ и $b2$ реальные числа событий фона для $t\bar{t}$, $Wjj$ и QCD, соответственно.

Предварительные знания о параметрах можно представить в виде плоского распределения для сечения и гауссиана для аксептанса и фонов:

$${\rm Prior}\left(\sigma, a^{\prime}, b1, b2 \vert A^{\prime}, B1, B2 \right) = {\rm Prior}\left(\sigma\right) \times {\rm Prior}\left(a^{\prime}, b1, b2 \right)$$

$$= d \sigma \times {\rm Gaussian}\left(-\frac{1}{2} \; \Delta c^T \; \Sigma_{C}^{-1} \; \Delta c \right)dc,$$

где

$$c = \left(\begin{array}{c} a^{\prime} \\ b1 \\ b2 \end{array}... ...} A^{\prime} \\ B1 \\ B2 \end{array}\right), \;\;\;\;\;\; \Delta c = c - C$$

• $\Sigma_C$ корреляционная матрица ошибок между акцептансом и фонами.

Из теоремы Бейеса получаем конечную вероятность:

$${\rm Post}\left(\sigma, a^{\prime}, b1, b2 \vert Y^{\rm sigdat}_{... ...prime}, b1, b2 \right)} {\int_{\sigma} \int_{a^{\prime}} \int_{b1} \int_{b2}},$$

которая интегрируется по параметрам $a^{\prime}$, $b1$, and $b2$ методом МК:

$${\rm Post}\left(\sigma \vert Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}\right) = \i... ...m Post}\left(\sigma, A^{\prime}, B1, B2 \vert Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}\right).$$

Решением следующего уравнения на $\sigma$:

$$\int_0^{\sigma_{95}} {\rm Post}\left(\sigma \vert Y^{\rm sigdat}_{\rm obs}\right) = 0.95$$

получается ограничение на сечение на 95% уровне достоверности.

Необходимо раскрыть некоторые используемые величины. Ниже для примера показаны значения параметров для случая, если в качестве сигнала выбирается s-канальный процесс рождения ($tb$), а t-канальный процесс добавляется к фону. Числа приведены для электронного канала.

$${\rm\text{ Акцептанс}} \times {\rm\text{ Светимость}} = A^{\prime} \pm dA^{\prime}_1 \pm dA^{\prime}_2$$

    МК фон$$= B1 \pm dB1_1 \pm dB1_2$$

    Фон из данных$$= B2 \pm dB2_1$$

$$A^{\prime} = A^{tb} \times {\cal L} = 0.002550 \times 91.90 = 0.23434724$$

$$B1 = Y^{t\bar{t}} + Y^{tqb} = 1.1354 + 0.2771 = 1.41254222$$

$$B2 = Y^{Wj} + Y^{\rm QCD} = 5.6230 + 5.9239 = 11.49532223$$

При вычислении ограничения в двух модах распада (электронной и мюонной) корреляционная матрица будет иметь вид $6\times 6$, в соответствии с возможными комбинациями.

Ошибки для аксептанса и фонов делятся на несколько компонент, для учета корреляций вкладов (к примеру, ошибка интегральной светимости входит и в акцептанс, и в фон).

В ошибки входят (``$\oplus$'' подразумевает суммирование в квадратурах):

• $dA^{\prime}_1 ~=~ \Delta A^{t\bar{b}}_{\rm stat}$;
• $dA^{\prime}_2 ~=~ \Delta \varepsilon_{\rm trig} \;\; \oplus \;\; \Delta \varep... ...lon_{\rm JES} \;\; \oplus \;\; \Delta \varepsilon_{e{\rm ID}} \;\; \oplus \;\;$
  $~~~~~~~~~~~~ \Delta \varepsilon_{{\rm tag}\mu1{\rm ID}} \;\; \oplus \;\; \Delt... ...\; \oplus \;\; \Delta \varepsilon_{\rm badjet} \;\; \oplus \;\; \Delta {\cal L}$;
• $dB1_1 ~=~ \Delta Y^{t\bar{t}}_{\rm stat} \;\; \oplus \;\; \Delta Y^{tqb}_{\rm ... ... \;\; \oplus \;\; \Delta \sigma_{t\bar{t}} \;\; \oplus \;\; \Delta \sigma_{tqb}$;
• $dB1_2 ~=~ \Delta \varepsilon_{\rm trig} \;\; \oplus \;\; \Delta \varepsilon_{{... ...ilon_{\rm JES} \;\; \oplus \;\; \Delta \varepsilon_{e{\rm ID}} \;\; \oplus \;\;$
  $~~~~~~~~~~~~~ \Delta \varepsilon_{{\rm tag}\mu1{\rm ID}} \;\; \oplus \;\; \Del... ...\; \oplus \;\; \Delta \varepsilon_{\rm badjet} \;\; \oplus \;\; \Delta {\cal L}$;
• $dB2_1 ~=~ \Delta Y^{Wj}_{\rm stat} \;\; \oplus \;\; \Delta Y^{\rm QCD}_{\rm st... ...; \Delta F_{\rm tag} \;\; \oplus \;\; \Delta R^{Wj}_{\rm trig} \;\; \oplus \;\;$
  $~~~~~~~~~~~~~ \Delta \varepsilon_{\rm cosmic} \;\; \oplus \;\; \Delta F^{Wj} \... ...s \;\; \Delta P_{{\rm fake}e} \;\; \oplus \;\; \Delta R^{{\rm QCD}e}_{\rm trig}$;

Корреляционная матрица ошибок имеет вид ( ${\mbox{$tb$}}{\mbox{ $\rightarrow$\ }}{\mbox{$e$+jets/$\mu$}}$):

$$\Sigma_C = \left( \begin{array}{ccc} dA^{\prime 2}_1 + dA^{\prime... ...4828 & 0.00000000 \\ 0.00000000 & 0.00000000 & 1.26364791 \end{array}\right)$$

Акцептанс вычисляется по формуле:

    Акцептанс$$= A^{\rm MC} = \frac{B^{\rm MC}}{N_{\rm initial}^{\rm MC}} \sum_{... ...et}^{{\rm MC\_zn}(i)}} {C^{\rm MC}_{{\rm event}(j)}} \right)_{{\rm zone}(i)}},$$

где:

• $C^{\rm MC}$ корректирующий фактор для каждого события
  $$C^{\rm MC} = \left(\varepsilon_{\rm trig}^{\rm MC} \varepsilon_{... ...pID} \varepsilon_{\rm tag{\mu}ID} \right)_{\rm zone} \varepsilon_{\rm badjet}$$
  индекс $MC$ соответствует типу процесса (к примеру $tb$), а
  $\varepsilon_{\rm trig}^{\rm MC},\varepsilon_{\rm lepID},\varepsilon_{\rm tag{\mu}ID},\varepsilon_{\rm badjet}$ - корректирующие факторы эффективности триггеров, идентификации изолированного лептона, тагирующего мюона и коррекция, связанная с обрезанием плохо измеренных струй;
• $B^{\rm MC}$ вероятность парциального распада (брэнчинг), смоделированного в образце $MC$;
• $N_{\rm initial}^{\rm MC}$ число сгенеренных событий в образце $MC$;
• $i$ индекс пробегающий зоны детектора при суммировании (в разных зонах могут быть разные эффективности);
• $n_{\rm zone}^{\rm max}$ число зон детектора, рассматриваемых для данного канала;
• $j$ индекс, пробегающий события, прошедшие все критерии отбора;
• $N_{\rm cutset}^{\rm MC\_zn}$ полное число событий, прошедших отбор для данной зоны детектора.

Статистическая и систематическая ошибки аксептанса вычисляются по следующим формулам.

$${\text{\rm Статистическая ошибка аксептанса} = \Delta A^{\rm MC}_{\rm stat} =}$$

$$\frac{B^{\rm MC}}{N_{\rm initial}^{\rm MC}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n... ...{{\rm MC\_zn}(i)}} {N_{\rm initial}^{\rm MC}} \right) \right)_{{\rm zone}(i)}}}$$

$${\text{\rm Систематическая ошибка аксептанса} = \Delta A^{\rm MC}_{\rm syst} =}$$

$$\left[ \begin{array}{c} \sum_{i = 1}^{n_{\rm zone}^{\rm max}}... ...adjet} \right)_{{\rm evt}(j)}\right)^2 \end{array}\right]^{1/2}$$

• $\Delta\varepsilon_{{\rm tag}{\mu}B}$ ошибка вероятности распада $B$ адрона с образованием $\mu$;
• $\Delta\varepsilon_{\rm MCfrag}$ неопределенность моделирования адронизации кварков;
• $\Delta\varepsilon_{\rm JES}$ ошибка в коррекции энергии струй после программ реконструкции.

Подробное описание ошибок и методов их вычислений можно найти в полном отчете о проделанном анализе в работе [18].

В результате проведенного анализа были найдены числа предсказанных и зарегистрированных событий, прошедших критерии отбора, их ошибки и эффективность критериев отбора для сигнальных событий (акцептанс). Полученные значения суммированы в таблице 3.7

Table 3.7: Акцептанс сигнала (эффективность прохождения критериев отбора для сигнальных процессов) в процентах от полного сечения процесса. Числа ожидаемых событий для сигнальных и фоновых процессов после критериев отбора, и количество событий в данных, прошедших критерии отбора.

	Электронный канал	Мюонный канал
	Акцептанс
$tb$	$(0.255\pm0.022)\%$	$(0.112\pm0.011)\%$
$tqb$	$(0.168\pm0.015)\%$	$(0.083\pm0.008)\%$
	Числа событий
$tb$	$0.18\pm0.03$	$0.08\pm0.01$
$tqb$	$0.28\pm0.05$	$0.13\pm0.03$
$Wjj$	$5.59\pm0.64$	$1.12\pm0.17$
QCD	$5.92\pm0.58$	$0.40\pm0.09$
$t\bar{t}$	$1.14\pm0.35$	$0.45\pm0.14$
Полный фон	$12.65\pm0.93$	$1.97\pm0.24$
Данные	$12$	$5$

Превышение полученных данных в мюонном канале по отношению к предсказанному числу обьясняется невозможностью полностью удалить события, связанные с космическими лучами. Применяя описанные выше методы к полученным числам, можно установить верхние ограничения на сечения процессов с электрослабым рождением топ-кварка. Парциальные и полные ограничения приведены в таблице 3.8

Table 3.8: Верхние ограничения на сечения процессов с рождением одиночного топ-кварка на $95\%$ уровне достоверности. Приводятся парциальные и полные ограничения после начальных и жестких критериев отбора.

Ограничения на сечения сигнальных процессов ($95\%$ CL)
	Начальные обрезания			Жесткие обрезания
Канал	Электронный	Мюонный	Оба	Электронный	Мюонный	Оба
s-канал $tb$	$38.4$	$108.3$	$44.9$	$37.0$	$89.4$	$39.2$
t-канал $tqb$	$53.5$	$131.0$	$60.9$	$56.4$	$120.2$	$58.0$
полное $tb$+$tqb$	$48.4$	$124.1$	$56.2$	$49.2$	$109.6$	$51.5$