Оптимальные переменные, подавление фона и структура сингулярностей в фейнмановских диаграммах

Как всегда, правильное выявление особенностей фейнмановских диаграмм совершенно необходимо для получения численно стабильных результатов при Монте-Карло интегрировании по фазовому пространству. Однако в этой части будут рассматриваться другие аспекты сингулярностей, имеющих значение для физического анализа.

До тех пор пока не накладываются обрезания, наибольшая часть любого рассматриваемого процесса идет от интегрирования по области фазового пространства, близкой к имеющимся сингулярностям.

На самом деле это простое наблюдение формирует основу для большинства наших интуитивных выборов оптимальных наборов обрезаний для выделения сигнала. Однако во многих случаях, возможно обратить этот процесс и использовать сингулярности для нахождения оптимального набора обрезаний для подавления фона. Этот метод требует анализа всех фейнмановских диаграмм, дающих вклад в сигнал и фон.

Иногда полезно сместить акцент с выделения сигнала на подавление фона, что будет полезно в случае, когда вклад сигнала не мал по сравнению с потерями от обрезаний. Такая ситуация складывается с рождением одиночного топ-кварка на LHC.

Общая процедура выбора основывается на сравнении набора  $\mathcal{S}$ переменных с сингулярностями от всех сигнальных диаграмм с тем же набором  $\mathcal{B}$ от всех диаграмм фона. Если  $\mathcal{B}/\mathcal{S}\not=\emptyset$, т.е. существуют переменные с сингулярностями для фоновых диаграмм и без таковых для сигнальных диаграмм, и будет естественным обрезать такие переменные как можно сильнее. Понятно, что число независимых сингулярных переменных будет весьма ограничено в случае практического применения и общей классификации, допускающей общие рекомендации по выбору чувствительных переменных. Применение этого подхода для метода нейронных сетей описывается в главе IV и работах [22], [24], [21].

Возвращаясь к частному случаю рождения одиночного топ-кварка, находим, что в сигнальных диаграммах есть только одна сингулярная переменная - инвариантная масса $M_{Wb}$ продуктов распада $t$, которая будет иметь полюс  $M_{Wb}=M_t$. Этот вклад, разумеется, должен быть сохранен.

В фоновых диаграммах $s$-канальная сингулярность есть в инвариантной массе  $M_{b\bar b}$ пары $b\bar b$ на значениях 0, $M_Z$ и $M_H$. Поскольку ККМ матричный элемент $V_{ub}$ пренебрежимо мал, можно проигнорировать диаграммы с $Wub$-вершиной и рассматривать $t$-канальные переменные  $t_{u\to b\bar b} = t_{\bar d\to W}$ и  $t_{\bar d\to b\bar b} = t_{u\to W}$. К сожалению, $t$-канальные переменные ненаблюдаемы напрямую в адронных соударениях, но мы можем использовать поперечный импульс, как приближение, в соответствии с формулой 4.10. В нашем случае это будет $P_T$ пары $b\bar b$ или, что эквивалентно, $P_T^W$.

Исходя из этих простых аргументов можно утверждать, что инвариантная масса  $M_{b\bar b}$ и поперечный импульс $P_t^W$ наиболее эффективны при определении обрезаний для выделения процесса (2.1a).

Аналогичные соображения для диаграмм на рисунке 2.2 ведут к переменным  $M_{b\bar b}$, $P_T^{b\bar b}$ и $P_T^W$ ( две последнии не эквивалентны для процесса (2.1b)). В данном случае, включение распределений по поперечному импульсу одиночных струй $P_T^b$ и $P_T^q$ проблематично, так как присутствуют одинаковые сингулярности для фоновых и сигнальных диаграмм, что дает похожие, не разделяющиеся пики. Следовательно, обрезания на эти переменные следует вводить из условия устойчивого выделения струи и минимального обрезания сигнальных событий.

Разумеется, существуют другие переменные, имеющие различные распределения для сигнала и фона, и не связанныe с сингулярностями в диаграммах. Примером такой переменной является энергия начальных партонов $\hat{s}$, где отличие связано с разными порогами для сигнальных и фоновых процессов.